線性代數"基底和維度"問題

b9707114

請問第2張圖 u + v =0 下面那句話的意思,搞不懂他這樣在做什麼,請大大幫忙

宮俊和香

數學怎麼這麼可怕 = =.....

唔......看不懂......

cloud7812061

\
linearly independent
只知道離散的部分，沒學過線代，只好用離數稍微琢磨一下句義

題意似乎是要由U交集V為0集合(空集合?)證等式(2)之C1~C(k+r)皆必為0

在第一行基本條件下，U交集V為0集合(空集合?)這個命題在U或V為0集合時必成立--->此後由線代的部分應該可證等式(2)

因此現在只針對U及V為非0集合時討論此論證。(離散數學->邏輯基礎->邏輯運涵)

因此現在令U是有K個相異元素(此處的元素似乎是向量)的集合，V是R個相異元素的集合

若要證U加V的集合是含有K+R個元素的集合--->證每個元素是線性獨立(linearly independent)--->得出此處須證明 " IF 等式(2)成立

則  c(1)=c(2)=...=c(k+r)=0 成立"



得出u = -v，又U和V無交集，U這個向量集合經C調整後  等於負的調整後 V向量集合  ---->C集合元素為0

所求得證


PS.話說那兩張圖是解答吧?...題目呢?

xvmon123

這好像是要你證dimension thm吧
要證之前要要先有什麼叫base 什麼叫span 什麼叫dim(V)的觀念+linear transformation
沒記錯的話這到infinite也對
根據我去年學的(現在忘得差不多了XD)

幫你寫成數學符號一點看有沒有看有~~
State
        Let V be a vector space (with finite dimension) then dim(V)=dim(N(T))+dim(R(T))
        where T is a linear transformation from V to W
Proof
        suppose dim(V)=n  dim(N(T))=m
        note
              m less or equal to n (since N(T) subspace in V)
        let A={v_1 v_2 ....v_m} be basis for N(T)
        one can extend to be a basis for V(by repalcement thm)
        say A_0={v_1 v_2 ....v_m  v_(m+1)  .......v_n}
        claim
                {T(v_(m+1)).........T(v_n)} is a basis for R(T)
                pf:
                    (span)
                    Let w belong to R(T)
                    i.e. there exist v belong to V such that T(v)=w
                    since {v_1 v_2 ....v_m} are basis for V
                    can write v=a_1(v_1)+a_2(v_2)........+a_n(v_n) uniquely
                    =>w=T(v)=T(a_1(v_1)+a_2(v_2)........+a_n(v_n))=a_1(T(v_1))+a_2(T(v_2))+........+a_n(T(v_n))   (since T is linear)
                    so w belong to span{T(v_(m+1)).........T(v_n)}
                    and converse direction is clearly
                    (linearly independent)
      
                    suppose a_m+1(T(v_m+1))+a_m+2(T(v_m+2))+........+a_n(T(v_n))=0
                    
                    =>0=T(a_m+1(v_(m+1))+a_m+2(v_m+2)).........+a_n(v_n))  (since T is linear)
                    
                    =>a_m+1(v_(m+1))+a_m+2(v_m+2)).........+a_n(v_n) belomg to N(T)
                    
                    since A is a basis for N(T)
                    
                    can write a_m+1(v_(m+1))+a_m+2(v_m+2)).........+a_n(v_n) = b_1(v_1)+b_2(v_2)+.....+b_m(v_m)
                    =>[a_m+1(v_(m+1))+a_m+2(v_m+2)).........+a_n(v_n)]-[b_1(v_1)+b_2(v_2)+.....+b_m(v_m)]=0
                    =>a_m+1=a_m+2=.........=a_n(v_n)=b_1=b_2=.............=b_m=0
                    
                    By claim
                    
                    dim(R(T)) = n-m =dim(V)-dim(N(T))
                    =>dim(V)=dim(N(T))+dim(R(T))