挑戰136

M.N.M.

1.
已之複數a=cosθ+i ，b=1-isinθ，求│a-b│^2的最大值與最小值

2.
已知f(x)=x^2/(1+x^2)   ，求f(2010)+f(2)+f(1/2010)=?

3.
若k個連續正整數之和為2010，求k最大值

小逆風

1.已之複數a=cosθ+i ，b=1-isinθ，求│a-b│^2的最大值與最小值
(sol.)
a-b = cosθ+i - 1+isinθ = (cosθ-1)+i(1+sinθ)
│a-b│= 【(cosθ-1)^2 + (1+sinθ)^2】^0.5
│a-b│^2 = (cosθ-1)^2 + (1+sinθ)^2 = cos^2θ - 2cosθ + 1 +sin^2θ + 2sinθ + 1
             = 1+1+1 + 2(sinθ - cosθ) = 3+2 * 2^0.5【sinθ*(1/2^0.5) - cosθ*(1/2^0.5)】
                 = 3+2 * 2^0.5 【 sin(θ+315°) 】
∵ sinθ的函數最大值為1 ,最小值為-1 ∴│a-b│^2 最大值為3+2 * 2^0.5 , 最小值為3-2 * 2^0.5

小逆風

2.已知f(x)=x^2/(1+x^2)   ，求f(2010)+f(2)+1/f(2010)=?
不好意思版大 , 這題我覺得求的東西好像有錯 , 因為這樣算的答案會很大
是否改成求f(2010)+f(2)+f(1/2010)=?  如果是照我這樣算的話 , 解法如下
(sol.)
f(x)=x^2/(1+x^2) , f(1/x)=(1/x)^2/【1+(1/x)^2】= (1/x)^2/【 (x^2+1)/x^2 】= 1/(x^2+1)
f(2010) + f(1/2010)  = 1 , f(2) = 4/5 , f(2010) + f(2) + f(1/2010)  = 9/5

小逆風

3.若k個連續正整數之和為2010，求k最大值
(sol.)
設第一個開始的數為n+1 , 所以所有連續正整數為n+1,n+2,n+3......n+k
k/2 (n+1+n+k) = 2010 , k(2n+1+k) = 4020 , k^2 + k(2n+1) - 4020 = 0
2n+1必為奇數 , 4020因數中相減為奇數有 =>1*4020 , 3*1340 , 4*1005 , 5*804 , 12*335 , 15*268 , 20*201 , 60*67
依次解出 n = 2009,668,500,399,161,126,90,3
∴ k = 1,3,4,5,12,15,20,60  60為k之最大值