挑戰139

M.N.M.

z∈C

1.當│z│≤1時，求│z^n +a│之最大值(n∈N，a∈C)

2.如果z_1,z_2,z_3滿足等式:
(z_2-z_1) / (z_3-z_1) =(z_1-z_3) / (z_2-z_3)
證:│z_1-z_2│=│z_2-z_3│=│z_3-z_1│

3.

蓮花蝶

第三題積分發散

M.N.M.

第三題積分發散
蓮花蝶 發表於 10-9-24 12:11

顯然不是發散的

蓮花蝶

我還以為你想說cot
既然是這樣的話還不如寫arctan比較不容易引起誤解

appqq

3. S(0->2)  [arctan(pi)x-arctan(x)]dx=2arctan(pi)-S(0->2) arctan(x)dx

=================================
arctanx 積分:
S arctan(x)dx=xarctan(x)-Sx/(x^2+1)dx  <---Sudv=uv-Svdu
帶入法 a=x^2+1 => da=2x*dx
S arctan(x)dx=xarctan(x)-Sx/(x^2+1)dx=xarctan(x)-S 0.5/a da
=xarctan(x)-0.5ln|a|+C=xarctan(x)-0.5ln|x^2+1|+c
==================================
帶回原式
S(0->2)  [arctan(pi)x-arctan(x)]dx=2arctan(pi)-S(0->2) arctan(x)dx
=2arctan(pi)-(2arctan(2)-0.5ln|2^2+1|-0+0.5ln|1|)
=2arctan(pi)-2arctan(2)+0.5ln|5|=1.115676032



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題目看錯XD 重解
3.
*arctanx 積分: S arctan(x)dx=xarctan(x)-0.5ln|x^2+1|+c
*arctan(pi*x) 積分 a=pi*x da=pi*dx
S arctan(pi*x)dx=S S arctan(a)/pi*dx=[a*arctan(a)-0.5ln|a^2+1|+c]/pi
=xarctan(pi*x)-0.5ln|pi^2*x^2+1|/pi+c   <-a 帶回pi*x

F(x)=S  [arctan(pi*x)-arctan(x)]dx=xarctan(pi*x)-0.5ln|pi^2*x^2+1|/pi-xarctan(x)+0.5ln|x^2+1|+C
F(2)-F(0)=2arctan(2*pi)-0.5ln|4*pi^2+1|/pi-2arctan(2)+0.5ln|5|=0.8273561246

appqq

2. *k_1, k_2, k_3改寫成a,b,c
(b-a)/(c-a)=(a-c)/(b-c)

設p=(b-a)/(c-a)
b-a=p(c-a)
a-c=p(b-c)

a=p(b-c)+c
b-(p(b-c)+c)=p(c-a)   ==> b-c=p(b+c-c-a)=p(b-a)
(b-c)/(b-a)=p

=========
等式變成: (b-a)/(c-a)=(a-c)/(b-c)=(b-c)/(b-a)

(b-a)/(c-a)=(a-c)/(b-c) ==> -(b-a)/(a-c)=(a-c)/(b-c) ==> (a-c)^2=(a-b)(b-c)
用相同方法套用剩下的組合，總共得到三式
(b-a)/(c-a)=(a-c)/(b-c) ==> (a-c)^2=(a-b)(b-c) ==> a-c=(a-b)(b-c)/(a-c)=(b-a)(c-b)/(a-c)
(b-a)/(c-a)=(b-c)/(b-a) ==> (b-a)^2=(c-a)(b-c) ==> b-a=(c-a)(b-c)/(b-a)=(a-c)(c-b)/(b-a)
(b-c)/(b-a)=(a-c)/(b-c) ==> (b-c)^2=(a-c)(b-a) ==> b-c=(a-c)(b-a)/(b-c)=(c-a)(a-b)/(b-c)

利用上面組合，將等式右半部分湊成平方
(a-c)^2=(a-b)(b-c) & b-c=(c-a)(a-b)/(b-c) ==> (a-c)^2=(a-b)^2*-(a-c)/(b-c) ==> -(a-c)^2/(a-b)^2=p
(b-a)^2=(c-a)(b-c) & a-c=(a-b)(b-c)/(a-c) ==> (b-a)^2=(b-c)^2*(b-a)/(c-a) ==> (b-a)^2/(b-c)^2=p

等式變成: (b-a)/(c-a)=(a-c)/(b-c)=(b-c)/(b-a)=-(a-c)^2/(a-b)^2=(b-a)^2/(b-c)^2
(b-a)/(c-a)=(a-b)/(a-c)=-(a-c)^2/(a-b)^2 ==> (a-b)^3=-(a-c)^3 ==> |a-b|=|a-c|
(b-c)/(b-a)=(b-a)^2/(b-c)^2 ==> (b-c)^3=(b-a)^3 ==> |b-c|=|b-a|=|a-b|
所以 |a-b|=|b-c|=|a-c|     Q.E.D.

aeoexe

1.當│z│≤1時，求│z^n +a│之最大值(n∈N，a∈C)
Let z=u(cisx),u≤1,x∈R
a=v(cisy),y∈R
z^n+a=[(u^n)cosnx+vcosy]+i((u^n)sinnx+vsiny)
│z^n +a│^2=((u^n)cosnx+vcosy)^2+((u^n)sinnx+vsiny)^2
                =(u^n)^2+2(u^n)v(cosnxcosy+sinnxsiny)+v^2
                =│z^n│^2+│a│^2+2uvcos(nx-y)
                ≤1+│a│^2+2│a│cos(nx-y)
cos(nx-y) ≤1
thus, │z^n +a│^2≤1+│a│^2+2│a│cos(nx-y)≤1+│a│^2+2│a│≤(│a│+1)^2
thus, max possible value of │z^n +a│=│a│+1