《暗黑破壞神3》抗性護甲收益的正確理解

張文宗

來源：凱恩之角 作者：Utmost
看到論壇上關於抗性護甲的討論，雖然數學模型很簡單，但似乎還沒人解釋得足夠詳細、清楚並且通俗，造成一些數學不是太好的壇友無法正確理解，所以我特地創建一個賬號來開此貼，希望儘量把事情說清楚。如果之前已有類似的貼子，就當是再說一遍了。再次聲明，涉及的數學很簡單，此貼只為還不太明白的朋友而開，已經足夠明白的就請不要說內容太簡單了云云。
貼子各個部分有一些數學公式、通俗解釋和結論。最後有提到一些簡單的個人看法，請閲讀者各取所需。如果什麼地方有錯誤請指正。
================
目錄:
1.1 基礎公式（一)
1.2 基礎公式（二)
1.3 如何計算收益
1.4 為什麼說EHP為線性收益？
1.5 有關線性收益的誤會
1.6 抗性和護甲的平衡以及1：10黃金比例
1.7  抗性和護甲的平衡（進階）
1.8  實用篇:1點抗性和10點護甲的成本相同嗎?
1.9  提高抗性和護甲的成本對比
1.10 減傷應該堆到什麼程度？
1.11 要點總結
================
1.1 基礎公式（一)
60級人物抗性減傷=抗性/（抗性+300）
比如：300全抗對應50%減傷，也就是1萬傷害打到你身上還剩5千點。
60級人物護甲減傷=護甲/（護甲+3000）
比如：3000護甲就是50%減傷，效果和300全抗等同。
基本結論1.1.1：單純從減傷百分比效果來看，300全抗0護甲和3000護甲0全抗的效果是一樣（注意，不是說任何時候300全抗和3000護甲的效果是一樣的！）
1.2 基礎公式（二)
抗性和護甲同時存在的話，按照乘法計算總減免傷害。比如，抗性減少75%傷害，護甲減少75%傷害，總的傷害是(1-75%)*(1-75%)=25%*25%=6.25%。達到這個數位需要900全抗和9000護甲。
注意，這裡沒有計算角色被動技能加成以及減少近戰遠程和精英傷害的詞綴。據我所知這些也是按照乘法規則來加成減傷效果。不過這些效果無法堆到護甲和抗性的減免程度，所以對本文結論影響不大。
1.3 如何計算收益
上面的公式很簡單，相信差不多所有人都明白。但問題是如何通過這些公式來計算收益。那麼首先需要定義收益。收益有很多種定義方法，比較通用的是有效血量(EHP)。換句話說，就是怪物需要造成多少原始傷害才能殺死玩家。
EHP=HP/（1-總減傷%），如果只計護甲和抗性的話，總減傷=1-（1-抗性/（抗性+300））*（1-護甲/（護甲+3000））
還以上面為例，抗性900，護甲9000，總減傷=1-（1-900/1200）*（1-9000/12000）=1-0.25*0.25=93.75%
也就是隻承受6.25%傷害。
把這個公式代入前面的公式，所以EHP=HP*(抗性+300）/300*(護甲+3000）/3000
如果角色HP為10000，那麼有效HP就是10000*1200/300*12000/3000=160000。也就是因為減傷到1/16，所以有效HP為角色HP的16倍。
1.4 EHP為線性收益
從上面的公式EHP=HP*(抗性+300)*(護甲+3000）/（300*3000）很容易看出，EHP對抗性和護甲都是線性收益。
定義澄清：何謂線性收益。所謂線性收益就是收益函數y=ax+b（線性函數，圖像為直線），也就是x每增加1，y就增加a，與x的值本身無關。
因此，每增加一點護甲，EHP增加HP*(抗性+300）/（300*3000），或者每增加3000點護甲，EHP增加HP*(抗性+300）/300
同理，每增加一點抗性，EHP增加HP*（護甲+3000）/（300*3000），或者每增加300點抗性，EHP增加HP*（護甲+3000）/3000
結論1.4.1：從有效HP收益來看，護甲和抗性都是線性收益，沒有遞減效應。（當然，對應的減傷%是遞減的，但那個不是實際收益）
結論1.4.2：雖然是線性收益，但1點護甲的收益取決於HP和抗性，1點抗性的收益取決於HP和護甲。
結論1.4.3: 在護甲和全抗比例大概為10比1的情況下,增加10點護甲和增加1點全抗的收益差不多。如果兩者比例距離10:1比較遠，那麼這個結論不再成立。
1.5 線性收益容易誤會的地方
EHP是線性收益，但收益率不是線性的。以萬血0抗0甲增加到0抗3000甲以及0抗9000甲為例子。
0抗0甲  EHP=10000（無減傷）
0抗3000甲 EHP=20000（50%減傷）
0抗9000甲 EHP=40000（75%減傷）
每增加3000甲，EHP增加10000。因為9000甲是3000甲的3倍，所以增加的EHP也是3倍（10000到30000），這是所謂線性收益的真正含義。
但同時，護甲從3000增加到9000，變成原來的3倍，而EHP從20000增加到40000，也就是隻是原來的2倍，卻不是3倍。這是因為對線性收益來說，x加倍不代表y也加倍。(因為y=ax+b中的b不等於0）
上面兩種計算收益率的方法，哪個更合理呢？當然是第一種，原因是這個收益不取決於其他因素。按照第一種計算方法，我增加了10000的EHP，就可以多承受怪物10000的傷害，這個收益基本上在任何時候都具有穩定的價值。而第二種算法，如果說EHP增加一倍，但到底增加多少呢？取決於你原來的EHP是多少，1000提高到2000和10000提高到20000都是提高一倍EHP，但實際效果根本不一樣。所以，不能按照第二種算法來計算收益。
結論：EHP收益要按加減法算 (增加了多少），不能按乘除法算（增加了幾倍）。因此線性收益結論無誤。
1.6 抗性和護甲的平衡以及1：10黃金比例
由於抗性收益取決於護甲(和HP)，護甲收益取決於抗性（和HP)。所以兩者需要平衡。
舉例說明，以萬血角色為例，0抗的時候每3000護甲增加10000點EHP，而300抗的時候每3000護甲能增加20000點EHP（參照1.4里面的公式）。反過來的情況也類似。所以，只堆護甲或者全抗是不經濟的。
有人提出的10:1黃金比例，這裡用數學推一下這個結論是如何來的。我們首先統一化抗性和護甲的成本，假設從0點護甲和抗性開始算，獲得每300點抗性和每3000點護甲的成本是一樣的（這個假設當然不准確，不過這是這個結論的前提，請注意這一點）
設 a=抗性/300，b=護甲/3000，
那麼a+b就是總成本
在總成本固定，也就是a+b=常數的情況下
EHP=HP*(抗性+300）/300*（護甲+3000）/3000=HP*(1+a)*(1+b)=HP*(1+a+b+ab)
注意a+b是常數，所以在HP固定的情況下，最大化EHP需要最大化a和b的乘積,學過初中數學的都應該知道這意味着a=b
a=b=>抗性/300=護甲/3000=>抗性/護甲=1:10

張文宗

1.7  抗性和護甲的平衡（進階）
1.6中結論有兩個非常重要的前提，也就是設獲得每300點抗性和每3000點護甲的成本是一樣的，並且必須從0抗0護甲（或者抗性和護甲比例為1：10的時候）開始算。如果簡單地把前提換成每獲得300點抗性和4000點護甲的成本是一樣的話：
a=抗性/300，b=護甲/4000
a+b=常數C
EHP收益=HP*(抗性+300）/300*（護甲+3000）/3000=HP*(1+a)*(1+4b/3)=1+a+4b/3+4ab/3=(1+a+b)+(b/3+4*(C-b)*b/3)=常數+-4b^2/3+(1/3+4C/3)*b （1+a+b是常數）
最大化EHP需要最大化後面有關b的二次函數，結果是b=1/6+C/2,a=-1/6+C/2，變得很複雜，不再有固定的黃金比例，而和常數C（你的總預算）有關，下面舉例說明。
比如，每增加300點抗性需要花1百萬，每增加4000點護甲也需要1百萬。現在我有2百萬(C=2)資金，那麼最大化EHP收益需要增加大約250點抗性和4667點護甲,接近1:20的比例。
不僅如此，上述計算的另外一個前提是，你目前的裝備必須滿足抗性和護甲比例為1：10，否則結論還和你最初的抗性和護甲有關。
在這麼多前提下，黃金比例真的成立嗎？這就是下面要討論的問題。
1.8  實用篇:1點抗性和10點護甲的作用相同嗎？
到底為止都是有關數學模型的推導,我們得出了一些重要的基本結論,但還需要更仔細的分析才能應用於實際。其實，我們只需要回答兩個問題就夠了：
一、在自己目前裝備基礎上，從EHP收益角度來看，增加1點抗性相當於增加多少點護甲？
二、把成本考慮進去，到底是加抗性划算還是加護甲划算，或者兩者按照一定比例增加？
我們首先討論第一個問題。這個問題不難。從0抗0甲開始算，增加300抗和3000甲的收益是一樣的，所以增加1點抗性相當於增加10點護甲。
不過對於任何一個角色來說，不可能是從0抗0甲為起點，以剛到達煉獄第二幕的法師為例（我的角色是法師所以不太瞭解其他職業），假設你刷出了全身ilvl61的防具底子（不計職業護甲），算單手持盾，那麼平均防禦應該是3177。這裡面沒考慮你的力量和裝備上額外加的護甲，我們大概預計一下，一個剛過煉獄act1的法師從力量和詞綴上獲得400點護甲，那麼你大概有3600點護甲，開能量護甲之後大概是6000點甲。如果拿的是法器或者雙手，那麼要減少1500點甲左右，就是大概有4500護甲。
那麼這個時候你的抗性是多少呢？通常來說，剛到煉獄第二幕的法師很難有450點抗性，更少人能有600點。我隨便預計一下，假設這個時候我們有250點抗性。
如果初始數值為6000甲250點抗性，那麼增加一點護甲的收益是HP*(250+300)/(300*3000),增加一點抗性的收益是HP*(6000+3000)/(300*3000)，所以一點抗性相當於(6000+3000)/(250+300)=16.4點護甲。
一般地，如果你有A點護甲和B點抗性，那麼在此基礎上，一點抗性相當於(A+3000)/(B+300)點護甲。在A/B=10的情況下，1點抗性剛好相當於10點護甲。
也就是說，對於護甲抗性比高於10的角色，一點抗性的價值也高於10點護甲，反過來，如果護甲抗性比低於10，那麼一點抗性的價值也低於10點護甲。對於大部分剛進煉獄的角色來說，都屬於第一種情況。如果按照1點抗性=15點護甲算，提升20點全抗等於提升300點護甲。考慮到詞綴的上限（全抗是戒指項鏈70，其他部分80，除了武器；而護甲詞綴的提升上限都在200多到300多之間，還得是63級裝備），這時提高抗性遠比提高護甲划算，應該專心提高抗性到450再說。
而隨着你抗性越來越高，護甲抗性比會越來越低，這時護甲對你會變得更有價值，但什麼時候提升護甲會變得和提升抗性差不多了呢？這就需要我們來進行成本計算。
1.9  實用篇（二）提高抗性和點護甲的成本對比
仍以法師為例（其他角色可自行推演），假如開了能量護甲的60級法師有6000甲500抗，這時提升10點護甲（10點力量）和1點抗性的價值非常接近（1點抗性=9000/800=11.25護甲），如果要再提高減傷的話，就要去按照這個換算公式來衡量到底提高護甲還是提高抗性划算。也就是前面提到的第二個問題，進行成本估算。
儘管在預算一定的情況下，理論上存在一個收益最大化的抗性和護甲提升比例。但實際情況比這複雜得多，有這個工夫進行數學計算，還不如研究拍賣行的行情。所以最終還是根據經驗來決定。只要知道對自己來說1點抗性相當於幾點護甲就夠了。
從個人經驗來說，在一個部件上如果抗性很高（接近上限）就比較貴，而有30到40抗性的裝備相對便宜，所以如果你想提高抗性，先從沒有抗性的部件開始考慮。護甲的情況也類似。如果可能的話，從不持盾到持盾是最經濟的提高護甲的辦法，但會損失不少DPS，不過可以儘量挑選帶爆擊和高智力的盾解決這個問題。
另外，對60級人物通常一個部件上最多能提高300點護甲左右（除非你原來穿的底子護甲特別低），但也可以通過提升力量來提升護甲，加上65%的能量盾加成（其他角色也需要乘上相關的主動技能或者被動技能的加成係數），所以對法師來說一個裝備提高護甲的潛力平均可以達到（300護甲+150力量）*1.65=742.5左右，這是個大概的預計。相比之下，提高抗性的潛力也差不多，詞綴上限是70或者80，加上單抗可以除以6以及智力除以10（法師和巫醫以外,這兩個角色用不着為了加抗性而加智力)，所以在高級人物護甲抗性比在10比1左右的情況下，提升兩者的潛力是差不多的，只是對不同職業和技能選擇會有一些區別。
那麼價格呢？這就很難說了，涉及諸多細節，比如腰帶手套護腕和鞋的護甲提升上限不如衣服褲子帽子和肩膀，比如手套這種帶許多好詞綴的裝備通常有全抗沒加速爆擊不貴，但肩膀和腰帶這種需要用來堆抗性的地方有高全抗就很貴。也就是說，不同裝備上同樣的抗性（護甲）成本不同。對於窮人來說，要選擇的話當然是從成本低的入手。
此外大家都知道全抗高值錢，而對護甲提升價值有充分瞭解的人不多，所以我感覺便宜淘到高護甲提升裝備的可能更大。此外，高抗的藍裝備通常比黃色裝備便宜，70抗性以上的很多，需要的時候可以考慮購入作為過渡。
這一部分純粹是經驗性的，我只玩美服法師所以不敢說自己的經驗全都對，有不全面的地方大家可以補充。
最後不要忘記，增加HP會同時增加護甲和全抗的收益。所以在有回血保證的情況下，也要多提高自己的血量，三滴血或者一滴血魂鬥羅除外。
1.10  減傷應該堆到什麼程度？
這就涉及職業的特點和build，對此我沒太多發言權，只能說說自己的角色。對法師而言，由於有堅毅護甲，所以基本上只要堆到EHP超過煉獄ACT 2/3/4怪物大部分傷害就夠了。我現在在ACT3大概6500甲500全抗，血只有2W不到，感覺是略微有點低，會被一些怪物和金怪的大招秒掉。如果HP和全抗略高一點會好一些，不過再高會損失DPS就不值得了，畢竟怎麼都是只有三滴血。三滴血的情況下儘量增加DPS加快殺怪速度是正解。
上面說的所有結論，只是回答如果要增加減傷應該選擇抗性還是護甲的問題。在此之前應該問的問題是，到底目標是堆到多少抗性和護甲。我個人有許多抗性裝，可以輕易把抗性堆到800，護甲堆到8000，但是和現在比效率提高不大，同時損失了DPS和MF值，所以我認為並不值得。如果1.03修理費增加，也許我會考慮比現在增加一些抗性和護甲以減少死亡次數。
1.11  要點總結
1：從有效HP收益來看，護甲和抗性都是線性收益，沒有遞減效應。
2：1點護甲或抗性的收益和對方有關，所以只堆其中一種很不經濟。
3：對於有A點護甲和B點抗性的角色，在此基礎上增加一點抗性相當於增加(A+3000)/(B+300)點護甲。1：10的黃金比例只是其中一個特例。
4：在同樣收益的前提下，提高抗性和護甲的成本不同，同樣是提升抗性（護甲），在不同裝備上的成本也不同。需要多加比較才知道應該如何下手，這正是遊戲的樂趣。
5：不要盲目堆護甲、抗性，要考慮實際效果和需要。